Question

【題目】某工廠的污水處理程序如下：原始污水必先經過A系統處理,處理后的污水（A級水）達到環保標準（簡稱達標）的概率為.經化驗檢測,若確認達標便可直接排放；若不達標則必須進行B系統處理后直接排放.

某廠現有個標準水量的A級水池,分別取樣、檢測. 多個污水樣本檢測時,既可以逐個化驗,也可以將若干個樣本混合在一起化驗.混合樣本中只要有樣本不達標,則混合樣本的化驗結果必不達標.若混合樣本不達標,則該組中各個樣本必須再逐個化驗；若混合樣本達標,則原水池的污水直接排放.

現有以下四種方案,

方案一：逐個化驗；

方案二：平均分成兩組化驗；

方案三：三個樣本混在一起化驗,剩下的一個單獨化驗；

方案四：混在一起化驗.

化驗次數的期望值越小,則方案的越“優”.

（Ⅰ） 若,求個A級水樣本混合化驗結果不達標的概率；

（Ⅱ） 若,現有個A級水樣本需要化驗,請問：方案一,二,四中哪個最“優”？

（Ⅲ） 若“方案三”比“方案四”更“優”,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（II）見解析;（III）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據所給相互獨立事件重復發生的概率為兩相互獨立事件概率乘積，及相互獨立事件的概率和為，可得結果；（Ⅱ）分別求出三種方案對應分布列，進一步求出各自的期望值，比較期望值大小得最優方案；（Ⅲ）分別求出期望值，利用期望大小關系建立關于的不等式，解得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）該混合樣本達標的概率是； 2分

所以根據對立事件原理，不達標的概率為．

（II）方案一：逐個檢測，檢測次數為．

方案二：由（I）知，每組兩個樣本的檢測時，若達標則檢測次數為，概率為；若不達標則檢測次數為，概率為． 故方案二的檢測次數， 可能取， ， ．概率分布列如下，

可求得方案二的期望為，

方案四：混在一起檢測，記檢測次數為， 可取， ．概率分布列如下，

可求得方案四的期望為．

比較可得，故選擇方案四最“優”．

（III）解：方案三：設化驗次數， 可取， ．

；

方案四：設化驗次數， 可取， ．

；

由題意得 ．

故當時，方案三比方案四更“優”．