Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點為， 是橢圓上一點，若， .

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過右焦點（不與軸重合）且與橢圓相交于不同的兩點，在軸上是否存在一個定點，使得的值為定值？若存在，寫出點的坐標（不必求出定值）；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）-.

【解析】試題分析：（1）根據題意列出關于 、 、的方程組，結合性質 ， ，求出 、 、，即可得結果；；（2）設直線方程為 與橢圓方程聯立，設出 點坐標，根據韋達定理及平面向量數量積公式將用 表示，進而可得結果.

試題解析：（1）由題意:c=,||2+||2=(2c)2=20 ||·||=8

∴(||+||)2=||2+||2+2||·||=36 解得: ||+||=6

2a=6 ∴a=3 b2=a2-c2=4

∴橢圓的方程為: + =1

(2)解法一:設直線l的方程為:x=my+

代入橢圓方程并消元整理得:(4m2+9)x2-18x+45-36m2=0…………………①

設A(x1,y1),B(x2,y2),則是方程①的兩個解,由韋達定理得:

x1+x2=, x1x2= y1y2= (x1-)(x2-)= ( x1x2- (x1+x2)+5)=

·=(x1-x0,y1) ·(x2-x0,y2)=( x1-x0)( x2-x0)+ y1y2= x1x2- x0(x1+x2)+x02+ y1y2

=- x0+x02+=

令·=t 則(4x02-36)m2+9x02-18x0+29= t(4m2+9)

比較系數得:4x02-36=4t且9x02-18x0+29=9t 消去t得:

36x02-36×9=36x02-72x0+29×4 解得:x0=

∴在x軸上存在一個定點P(,0)，使得·的值為定值(-);

解法二:當直線與x軸不垂直時,設直線l方程為:y=k(x-),代入橢圓方程并消元整理得:

(9k2+4)x2-18k2x+45k2-36=0………………①

設A(x1,y1),B(x2,y2),則是方程①的兩個解,由韋達定理得:

x1+x2=, x1x2= y1y2=k2(x1-)(x2-)=k2( x1x2- (x1+x2)+5)=

·=(x1-x0,y1) ·(x2-x0,y2)=( x1-x0)( x2-x0)+ y1y2= x1x2- x0(x1+x2)+x02+ y1y2

=

令·=t 則(9x02-18x0+29)k2+4x02-36= t(4+9k2)

9x02-18x0+29=9 t且 4x02-36=4t

解得:x0= 此時t的值為-

當直線l與x軸垂直時,l的方程為:x=,代入橢圓方程解得:A(,-),B(,)

·=(-,-)·(-,)=-=-

∴當直線l與x軸垂直時,·也為定值-

綜上, 在x軸上存在一個定點P(,0)，使得·的值為定值(-)