Question

【題目】已知函數f（x）=log2（4x+1）﹣x，g（x）=log2a+log2（2x﹣ ）（a＞0，x＞1）．
（1）證明函數f（x）為偶函數；
（2）若函數f（x）﹣g（x）只有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）的定義域是R，

f（﹣x）=log2（4﹣x+1）+x

=log2 +x

=log2（4x+1）﹣log222x+x

=log2（4x+1）﹣2x+x

=f（x），

故f（x）在R是偶函數

（2）解：由題意：函數f（x）﹣g（x）只有一個零點，即f（x）=g（x）只有一個零點，

可得：log2（4x+1）﹣x=log2a+log2（2x﹣ ）（a＞0）

整理得： ．

即：

令2x=t

∵x＞1，

∴t＞2

轉化為f（t）= （t＞2）與x軸的交點問題．

當a﹣1=0，即a=1時，f（t）=

∵t＞2，∴f（t）恒小于0，與x軸沒有交點．

當a﹣1＞0，即a＞1時，f（t）與x軸有一個交點，需那么f（2）＜0．

解得： ，

所以： ．

當a﹣1＜0，即0＜a＜1時，f（t）與x軸有一個交點，需那么f（2）＞0，此時無解．

綜上所得：函數f（x）﹣g（x）只有一個零點，求實數a的取值范圍是（1， ）

【解析】（1）求解定義域，利用定義進行判斷即可．（2）函數f（x）﹣g（x）只有一個零點，即f（x）=g（x）只有一個零點，化簡計算，轉化成二次方程問題求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱)．