Question

【題目】已知函數 .
（Ⅰ）當 時，求函數 在 處的切線方程；
（Ⅱ）試判斷函數 零點的個數.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當 時， ， ，
∵ ， ，∴ 在 處的切線方程為 ，即 ；
（Ⅱ）由題知， 的定義域為 ，
.
①當 時，對于定義域中任意 ，有 ， 在 上是增函數.
又 ，并且當 時， ，∴ 有唯一的零點；
②當 時，在 上 ， 單調遞減；在 上， ， 單調遞增.
又當 時， ，并且 .這是因為： .
設 ，則 .記 ，則 .
∵在 上， ， 單調遞減；在 上， ， 單調遞增，
∴ 的最小值為 ，即 成立，∴在區間 內存在一點 ，使得 .
則函數 零點的個數取決于 的最小值的正負.又函數 的最小值為 .記 ，則 是 上的增函數.又觀察，得 ，∴當 時， 的最小值小于0，即 有兩個零點；
當 時， 的最小值為0， 有唯一的零點；當 時， 的最小值大于0， 沒有零點.
綜上所述，當 或 時， 有唯一的零點；當 時， 有兩個零點；當 時， 沒有零點
【解析】(1)由題意把a的值代入函數的解析式，對其求導并把x=1的值代入導函數的代數式，求出切線的方程的斜率再由點斜式求出直線的方程。(2)首先求出原函數的導函數，對a分情況討論出導函數的正負進而得出原函數的單調性，從而得出原函數的零點存在情況即可。