Question

【題目】如圖，在 中， ， . 分別是邊 上的點，且 .現將 沿直線 折起，形成四棱錐 ，則此四棱錐的體積的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】作 于點 ，交 于點 ，由勾股定理有： ，
由相似三角形的性質有： ， ，
設 ，則 ，
四棱錐體積最大時，必須滿足平面 平面 ，
四棱錐的底面積： ，
四棱錐的高 ，據此可得體積函數：
，
則 ，令 可得： ，
結合函數的定義域可得：
函數在區間 上單調遞增，在區間 上單調遞減，
則此四棱錐的體積的最大值是 .

首先根據折疊的性質得到折疊后的邊的值，設 E F = x ( 0 < x < 6 ) ，則 P E = 6 x，由題意可知四棱錐體積最大時，必須滿足平面 P C D ⊥ 平面 A B C D ，進而得到面積關于x的二次函數的代數式從而求出體積的表達式，對其求導可得出原函數在區間 ( 0 , 6 2 3 ) 上單調遞增，在區間 ( 6 2 3 , 6 ) 上單調遞減，從而求出體積的最大值。