Question

【題目】在如圖所示的多面體中， 平面 ， ， ， ， ， ， ， 是 的中點．

（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ ， ．又 ，
∴ ， ， 兩兩垂直．
以點 為坐標原點， ， ， 分別為 軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ．
∴ ，∴ ．
（Ⅱ）由已知得 是平面 的法向量，
設平面 的法向量為 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，令 ，得 ，
設平面 與平面 所成銳二面角的大小為 ，
則 ．
∴平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 ．
【解析】(1)根據題意即可證明EB、EF、EA兩兩垂直以點E為坐標原點EB、EF、EA分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系用坐標表示點與向量進而得到即可得證 B D ⊥ E G 。(2)根據題意建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設出平面DEF和平面DEG的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用向量的數量積運算公式求出余弦值即可。