Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上存在一點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離等于．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（，兩點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，且，求△的外接圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）利用拋物線定義求拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為．代入并整理得，利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化條件，解得．即直線的方程為．然后根據(jù)外心的幾何性質(zhì)，確定圓心坐標(biāo)即可.

試題解析：

（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，

所以點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為．

解得．

所以拋物線的方程為．

（2）解法：設(shè)直線的方程為．

將代入并整理得，

由，解得．

設(shè)， ， ，

則， ，

因?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，所以．

即，又 ，解得．

所以直線的方程為．

設(shè)的中點(diǎn)為,

則，，

所以直線的中垂線方程為．

因?yàn)?/span>的中垂線方程為，

所以△的外接圓圓心坐標(biāo)為．

因?yàn)閳A心到直線的距離為，且，

所以圓的半徑．

所以△的外接圓的方程為．