Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，橢圓： 的上焦點(diǎn)為，橢圓的離心率為 ，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率為得，把點(diǎn)代人橢圓方程，結(jié)合，可求得 的值，從而可得橢圓方程；（2）直線的方程為，

由得，根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式，結(jié)合題設(shè)，且，可得，求得的值即可得結(jié)果.

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即．

又，得，即，所以橢圓的方程為．

把點(diǎn)代人中，解得．

所以橢圓的方程為．

（2）解法1：設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，

由得．

設(shè)， ，則有， ，

所以．

所以

因?yàn)?/span>，所以在線段的中垂線上，

所以，因?yàn)?/span>，所以，即．

設(shè)，又直線垂直，所以，即．

所以，即．

又，所以， ．

因?yàn)?/span>，所以，

解得．

所以直線的方程為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題. 利用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.