Question

設向量

m

=（a，c），

n

=（cosC，-sinA），

m

⊥

n

，其中a，b，c分別是△A，B，C中角A，B，C所對的邊．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求

3

sinA-cos（B+

π

4

）的最大值，并求取得最大值時角A，B的大小．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形,平面向量及應用

分析：（I））由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=acosC-csinA=0，再利用正弦定理及同角三角函數基本關系式可得tanC=1，即可得出；
（II）由（I）知：B=

3π

4

-A．利用兩角和差的正弦公式、誘導公式可得

3

sinA-cos（B+

π

4

）=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，再利用A的范圍和正弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（I）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=acosC-csinA=0，
由正弦定理得sinCcosC-sinCsinA=0，
∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴sinC=cosC，
∵cosC≠0，∴tanC=1，
∵0＜C＜π，∴C=

π

4

．
（II）由（I）知：B=

3π

4

-A．
于是

3

sinA-cos（B+

π

4

）=

3

sinA-cos（π-A）=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，
∵0＜A＜

3π

4

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

11π

12

，
∴當A+

π

6

=

π

2

時，即A=

π

3

時，sin(A+

π

6

)取得最大值1，
∴

3

sinA-cos（B+

π

4

）取得最大值2．
此時A=

π

3

，B=

5π

12

．

點評：本題考查了向量垂直與數量積的關系、正弦定理、同角三角函數基本關系式、兩角和差的正弦公式、誘導公式、正弦函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．