Question

已知a∈（0，2）直線l₁：ax-2y-2a+4=0與直線l₂：2x+a²y-2a²-4=0與坐標軸圍成一個四邊形，求此四邊形面積的最小值？

Answer 1

考點：二次函數在閉區間上的最值,三角形的面積公式,兩條直線的交點坐標

專題：函數的性質及應用

分析：求出其交點坐標．由l₁：ax-2y-2a+4=0，l₂：2x+a²y-2a²-4=0，令x=0，y=0得，l₁：x=2-

4

a

，y=2-a；l₂：x=a²+2，y=2+

4

a2

，由此能求出其面積的最小值．

解答： 解：兩直線的交點

ax-2y-2a+4=0 2x+a2y-2a2-4=0

，解得

x=2 y=2

∴交點為（2，2）；
由l₁：ax-2y-2a+4=0，l₂：2x+a²y-2a²-4=0，
令x=0，y=0得，l₁：x=2-

4

a

，y=2-a；
l₂：x=a²+2，y=2+

4

a2

，
則s=

1

2

（2-a）×2+

1

2

（2+a2）×2=a²-a+4=（a-

1

2

）²+

15

4

≥

15

4

．
所以 S_min=

15

4

．
此時a=

1

2

．

點評：本題考查兩直線的交點坐標的求法和四邊形面積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意配方法的合理運用．