Question

對于無窮數列{a_n}，記b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），給出下列定義：
①若存在實數M，使a_n≤M成立，則稱數列{a_n}為“有上界數列”；
②若{a_n}為有上界數列，且存在n₀（n₀∈N^*），使an0=M成立，則稱{a_n}為“有最大值數列”；
③若b_n+1-b_n＜0（n∈N^*），則稱數列{a_n}為“差減小數列”．
（Ⅰ）根據上述定義，判斷數列{

1

n

}，{-

1

2n

}分別是那種數列？
（Ⅱ）在數列{a_n}中，a₁=

2

，a_n+1=

2+an

（n∈N^*），求證：數列{a_n}既是有上界數列又是差減小數列；（Ⅲ）若數列{a_n}是有上界數列且是差減小數列但不是有最大值數列，求證：無窮數列{a_n}為單調遞增數列．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合,反證法與放縮法

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）an=

1

n

時，b_n+1-b_n=

1

n+1

(

1

n

-

1

n+2

)＞0，由此得到數列{

1

n

}既是由上界數列，又是有最大值數列．an=-

1

2n

時，bn+1-bn=

1

2n+2

-

1

2n+1

=-

1

2n+2

＜0，an=-

1

2n

≤0，由此得到數列{-

1

2n

}是差減小數列，又是有上界數列．
（Ⅱ）假設存在某個k使得，ak＜

2

，（k＞1，k∈N * ）成立，則必有ak-1=ak2-2＜0，與已知矛盾；假設存在某個k使得，a_k≥2，（n＞，n∈N^*）成立，得到a_k，a_k-1，…，a₁≥2成立，與a1=

2

＜2矛盾，故

2

≤an＜2．由已知推導出bn＞(

2

+

2

)bn+1＞bn+1，b_n+1-b_n＜0，由此證明{a_n}既是差減少數列又是有上界數列．
（Ⅲ）假設無窮數列{a_n}不是單調遞增數列，設k為第一個使a_k+1≤a_k成立的自然數，則數列從第k項開始為單調遞減數列，由此推導出無窮數列{a_n}為有最大值數列，與已知矛盾，由此得到無窮數列{a_n}一定是單調遞增數列．

解答： （Ⅰ）解：（i）an=

1

n

，顯然an=

1

n

≤1，且存在n=1，a₁=1，
bn=

1

n+1

-

1

n

=-

1

n(n+1)

，
b_n+1-b_n=-

1

(n+1)(n+2)

+

1

n(n+1)

=

1

n+1

(

1

n

-

1

n+2

)＞0，
所以數列{

1

n

}既是由上界數列，又是有最大值數列．…（2分）
（i）an=-

1

2n

，bn=-

1

2n+1

+

1

2n

=

1

2n+1

，
bn+1-bn=

1

2n+2

-

1

2n+1

=-

1

2n+2

＜0，an=-

1

2n

≤0，
且不存在n₀，使an0=0成立；所以數列{-

1

2n

}是差減小數列，又是有上界數列 …（4分）
（Ⅱ）證明：下面用反證法證明

2

≤a_n＜2，
假設存在某個k使得，ak＜

2

，（k＞1，k∈N * ）成立，
則必有ak-1=ak2-2＜0，顯然與已知矛盾，
所以ak＜

2

，n∈N^*不成立；假設存在某個k使得，a_k≥2，（n＞，n∈N^*）成立，
則必有ak-1=ak2-2≥22-2=2成立，
即得到a_k，a_k-1，…，a₁≥2成立，與a1=

2

＜2矛盾，所以

2

≤an＜2．
又an+22=2+an+1，an+12=2+an．
兩式相減得：（a_n+2+a_n+1）（a_n+2-a_n+1）=a_n+1-a_n，即（a_n+2+a_n+1）b_n+1=b_n，
即bn＞(

2

+

2

)bn+1＞bn+1，b_n+1-b_n＜0，
所以{a_n}既是差減少數列又是有上界數列．…（4分）
（Ⅲ）證明：用反證法，假設無窮數列{a_n}不是單調遞增數列，
則設k為第一個使a_k+1≤a_k成立的自然數，
即b_k≤0，又{a_n}是差減小數列，所以b_k+1-b_k＜0，
即b_k+1＜b_k≤0，數列{b_n}從第k項開始都有b_n+1＜b_n，
即…＜b_k+3＜b_k+2＜b_k+1＜b_k≤0，
又因為此時b_n=a_n+1-a_n＜0，
所以數列從第k項開始為單調遞減數列，
又由于k為第一個使a_k+1≤a_k成立的自然數，所以無窮數列{a_n}中，
必有a_n≤a_k=M，（n∈N^*），
無窮數列{a_n}為有最大值數列，與已知矛盾，所以假設不成立，
所以無窮數列{a_n}一定是單調遞增數列．…（5分）

點評：本題考查{

1

n

}，{-

1

2n

}分別是那種數列的判斷，考查數列{a_n}既是有上界數列又是差減小數列的證明，考查無窮數列{a_n}一定是單調遞增數列的證明，解題時要認真審題，注意反證法和放縮法的合理運用．