Question

已知函數f（x）=ax²-

4

3

ax+b，f（1）=2，f′（1）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求過P（0，1）且與曲線y=f（x）相切的直線方程．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出原函數的導函數，結合f（1）=2，f′（1）=1聯立方程組求解a，b的值，則f（x）的解析式可求；
（2）設出切點坐標，由（1）得到f′（x₀）=3x₀-2，由直線方程的點斜式得到切線方程，代入點P的坐標后求得切點坐標，則切線方程可求．

解答： 解：（1）由f（x）=ax²-

4

3

ax+b，得
f′(x)=2ax-

4

3

a．
又f（1）=2，f′（1）=1，
∴

a- 4 3 a+b=2 2a- 4 3 a=1

，解得

a= 3 2 b= 5 2

．
∴f(x)=

3

2

x2-2x+

5

2

；
（2）設切點M（x₀，y₀），
則f′（x₀）=3x₀-2，
∴過切點M的直線方程為y-

3

2

x02+2x0-

5

2

=(3x0-2)(x-x0)．
∵切線過點P（0，1），
∴1-

3

2

x02+2x0-

5

2

=-3x02+2x0，
整理得：x02=

1

2

．
∴x0=±

2

2

．
當x0=

2

2

時，切線方程為y=(

3 2

2

-2)x+

7

4

．
當x0=-

2

2

時，切線方程為y=-(

3 2

2

+2)x+

1

4

．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，解答此題的關鍵在于明確點P不是切點，屬中檔題，該題也是易錯題．