Question

已知橢圓C過點M（2，1），兩個焦點分別為（-

6

，0），（

6

，0），O為坐標原點，平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求△OAB面積的最大值及此時直線l的方程
（Ⅲ）求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由已知條件得a²-b²=6，且

4

a2

+

1

b2

=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=

1

2

x+m，由

x2 8 + y2 2 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+2mx+2m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出直線l的方程．利用弦長公式和點到直線的距離能求出△OAB面積的最大值．
（Ⅱ）設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，由已知條件推導出k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=0，由此能證明直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．

解答： （Ⅰ）解：設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由已知條件得a²-b²=6，且

4

a2

+

1

b2

=1，
解得a²=8，b²=2，
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）解：由直線l平行于OM，設直線l的方程為y=

1

2

x+m，
由

x2 8 + y2 2 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+2mx+2m²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，
由l與橢圓C有不同的兩點，知：
△=4m²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，且m≠0，
又|AB|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

2

4m2-4(2m2-4)

=

5

•

4-m2

，
點O到直線l的距離d=

|2m|

5

，
∴△OAB的面積S=

1

2

d•|AB|=|m|•

4-m2

=-

-(m2-2)2+4

，
此時直線l的方程為x-2u+2

2

=0或x-2y-2

2

=0．
（ⅡI）證明：設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0，
∴直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查求三角形面積的最大值和直線方程的求法，考查直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．