Question

【題目】已知O為坐標(biāo)原點，P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點，記直線OP的斜率k=f（x）． （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+ ）（m＞0）上存在極值，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時，不等式f（x）≥ 恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 由題意知， ， 所以
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
故f（x）在x=1處取得極大值．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間 上存在極值．
∴ 得 ，即實數(shù)m的取值范圍是 ．
（Ⅱ） 由題意 得 ，
令 ，則 ，
令h（x）=x﹣lnx，（x≥1），則 ，
∵x≥1∴h′（x）≥0，
故h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0從而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（1）=2，
∴實數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，2]
【解析】（1）先根據(jù)斜率公式求f（x），再由極值確定m的取值范圍，（Ⅱ）恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為最值問題．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．