Question

【題目】已知橢圓Γ： +y2=1（a＞1）的左焦點為F1 ， 右頂點為A1 ， 上頂點為B1 ， 過F1 ， A1 ， B1三點的圓P的圓心坐標為（ ， ）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k，m為常數，k≠0）與橢圓Γ交于不同的兩點M和N．
（i）當直線l過E（1，0），且 +2 = 時，求直線l的方程；
（ii）當坐標原點O到直線l的距離為 時，求△MON面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（1）橢圓Γ： +y2=1（a＞1）的左焦點為F1（﹣c，0）右頂點為A1（a，0）上頂點為B1（0，1），
由題意可知，圓心P在A1F1的中垂線上，即 = ，則a﹣c= ﹣ ，
由a2﹣c2=1，及（a+c）（a﹣c）=1，∴a+c= + ，
∴a= ，c= ，
∴橢圓的標準方程為： ；
（Ⅱ）（i）設直線l的方程為y=k（x﹣1），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），．
代入橢圓方程，整理得：（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，
由韋達定理可知：x1+x2= ，①x1x2= ，②
由 =（x1﹣1，y1）， =（x2﹣1，y2） ，
+2 = 時，則（x1﹣1，y1）+2（x2﹣1，y2）= ，則x1+2x2=3，③，
由①③，解得：x1= ，x2=
由②可知： = × ，
當3k2﹣3=0時，即k=±1，顯然成立，
當3k2﹣3≠0，1+3k2≠0，則 =1，顯然不成立，
綜上可知：k=±1，
∴直線l的方程y=x﹣1或y=﹣x+1；
（ii）設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．
由題意，設直線AB的方程為y=kx+m，
由坐標原點O到直線l的距離為 可得 ，化為m2= （k2+1）．
把y=kx+m代入橢圓方程，消去y得到（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
∴丨MN丨2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]
=（1+k2）[（﹣ ）2﹣4（ ）]= = ，
=3+ ，（k≠0），
=3+ ≤3+ =4，
當且僅當9k2= 時，即k=± 時，等號成立，此時丨MN丨=2，
由△MON面積S= ×丨MN丨× ，
= ×2× ，
= ，
∴△MON面積的最大值
【解析】（Ⅰ）由題可知：圓心P在A1F1的中垂線上，則a﹣c= ﹣ ，由橢圓的性質可知：a2﹣c2=1，即可求得a的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）（i）設直線l的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，即可求得x1及x2 ， 由x1x2= ，代入即可求得k的值，求得直線l的方程；（ii）將直線l的方程代入橢圓方程，由點到直線的距離公式求得m2= （k2+1），利用韋達定理，弦長公式，三角形的面積公式及基本不等式的性質，求得△MON面積的最大值．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．