Question

【題目】已知 為常數）， ，且當x1 ， x2∈[1，4]時，總有f（x1）≤g（x2），則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：依題意知，當x1 ， x2∈[1，4]時，f（x1）max≤g（x2）min ， 由“對勾'函數單調性知， =2x+ =2（x+ ）在區間[1，4]上單調遞增，
∴g（x2）min=g（1）=3；
∵ =2ax2+2x，
當a=0時，f（x）=2x在區間[1，4]上單調遞增，∴f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a≠0；
∴f（x）=2ax2+2x為二次函數，其對稱軸方程為：x=﹣ ，
當a＞0時，f（x）在區間[1，4]上單調遞增，f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a＞0不成立；
當a＜0時，
1°若﹣ ≤1，即a≤﹣ 時，f（x）在區間[1，4]上單調遞減，
f（x）max=f（1）=2a+2≤3恒成立，即a≤﹣ 時滿足題意；
2°若1＜﹣ ＜4，即﹣ ＜a＜﹣ 時，f（x）max=f（﹣ ）=﹣ ≤3，解得：﹣ ＜a≤﹣ ；
3°若﹣ ≥4，即﹣ ≤a＜0時，f（x）在區間[1，4]上單調遞增，
f（x）max=f（4）=32a+8≤3，解得a≤﹣ （﹣ ，0），故不成立，
綜合1°2°3°知，實數a的取值范圍是：（﹣∞，﹣ ]．
所以答案是： ．