Question

【題目】已知函數，，為自然對數的底數.

（1）當時，證明：，；

（2）若函數在上存在兩個極值點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）將帶入解析式,求得導函數,并判斷當時函數的單調性,根據函數單調性求得函數在時的最小值,即可證明.

（2）先求得導函數,討論在的不同取值范圍內函數的單調情況,根據函數的單調情況判斷其極值的個數,即可求得實數的取值范圍.

（1）證明:當時,,則,

當時,,則,又因為,

所以當時,,僅時,,

所以在上是單調遞減,所以,即.

（2）,因為,所以,,

①當時,恒成立,所以在上單調遞增,沒有極值點.

②當時,在區間上單調遞增,

因為,.

當時,時,

所以在上單調遞減,沒有極值點.

當時,,所以存在,使

當時,,時,

所以在處取得極小值,為極小值點.

綜上可知,若函數在上存在極值點,則實數.