Question

【題目】對于任意，若數列滿足，則稱這個數列為“K數列”.

（1）已知數列：1，，是“K數列”，求實數m的取值范圍；

（2）是否存在首項為-1的無窮等差數列為“K數列”，且其前n項和滿足：，若存在，求出的通項公式；若不存在，請說明理由；

（3）已知各項均為正整數的等比數列（至少有4項）為“K數列”，數列不是“K數列”，若，是否存在，使為“K數列”？若存在，請求出，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）這樣的等差數列不存在，詳見解析（3）答案不唯一，具體見解析

【解析】

(1)直接根據“K數列”的定義列出關于的不等式求解即可.

(2) 假設存在等差數列符合要求,設公差為d,再求得,再利用分析公差滿足的條件是否能夠成立即可.

(3) 設數列的公比為q,,再根據等比數列為“K數列”,數列不是“K數列”求出前兩項的關系,再根據前兩項的關系分情況討論是否能夠滿足為“K數列”即可.

(1)由題意得,①,②

解①得；解②得或.

所以,故實數m的取值范圍是.

(2)假設存在等差數列符合要求,設公差為d,則,

由,得,

由題意,得對均成立,

即.

①當時,；

②當時,,

因為,

所以,與矛盾,

故這樣的等差數列不存在.

(3)設數列的公比為q,則,

因為的每一項均為正整數,且,

所以,且.

因為,

所以在中,“”為最小項,

同理,在中,為最小項.

由為“K數列”,只需,即,

又因為不是“K數列”,且“”為最小項,所以,即,

由數列的每一項均為正整數,可得,

所以,或,,

①當,時,,則,

令,則,

又,

所以為遞增數列,即,

所以,

因為,

所以對任意的,都有,

即數列為“K數列”.

②當,時,,則.因為,

所以數列不是“K數列”.

綜上：當時,數列為“K數列”,

當時,數列不是“K數列”.