Question

太陽島公園引進了兩種植物品種甲與乙，株數分別為18與12，這30株植物的株高編寫成莖葉圖如圖（單位：cm）：若這兩種植物株高在185cm以上（包括185cm）定義為“優秀品種”，株高在185cm以下（不包括185cm）定義為“非優秀品種”．
（Ⅰ）求乙品種的中位數；
（II）在以上30株植物中，如果用分層抽樣的方法從“優秀品種”和“非優秀品種”中抽取5株，再從這5株中選2株，那么至少有一株是“優秀品種”的概率是多少？
（Ⅲ）若從所有“優秀品種”中選3株，用X表示3株中含甲類“優秀品種”的株數，試寫出X的分布列，并求X的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,眾數、中位數、平均數

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）由莖葉圖知乙的中間有兩個數187和188，由此能求出乙的中位數．
（Ⅱ）根據莖葉圖知，“優秀品種”的有12株，“非優秀品種”的有18株．用分層抽樣的方法抽取，“優秀品種”的有12株，“非優秀品種”的有3株，由此能求出從5株樹苗中選2株，至少有一株“優秀品種”的概率．
（Ⅲ）X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能法求出X的分布列和數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）乙的中間有兩個數187和188，
因此乙的中位數為：

187+188

2

=187.5cm．…（3分）
（Ⅱ）根據莖葉圖知，“優秀品種”的有12株，“非優秀品種”的有18株．
用分層抽樣的方法抽取，每株被抽中的概率是

5

30

=

1

6

，
“優秀品種”的有12×

1

6

=2株，“非優秀品種”的有18×

1

6

=3株．…（5分）
用事件A表示“至少有一株‘優秀品種’的被選中”，
則P（A）=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

．
因此從5株樹苗中選2株，至少有一株“優秀品種”的概率是

7

10

．…（7分）
（Ⅲ）依題意，一共有12株優秀品種，其中乙種樹苗有8株，
甲種樹苗有4株，則X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

，
P（X=1）=

C 2 8 C 1 4

C 3 12

=

28

55

，
P（X=2）=

C 2 4 C 1 8

C 3 12

=

12

55

．
P（X=3）=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

，…（9分）
因此X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

所以E（X）=0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，注意莖葉圖的合理運用．