Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AA₁=2，M是AB₁上的動(dòng)點(diǎn)，且AM=λAB₁，N是CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若λ=

1

2

，求證：MN⊥AA₁；
（Ⅱ）若直線MN與平面ABN所成角的正弦值為

3 14

，試求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)ME，CE，證明MN∥CE，利用AA₁⊥面ABC，即可證明MN⊥AA₁；
（Ⅱ）以AB，AA₁為x軸，z軸，在面ABC內(nèi)以過(guò)A點(diǎn)且垂直于AB的射線為y軸建系，求出平面ABN的法向量，利用直線MN與平面ABN所成角的正弦值為

3 14

，即可求λ的值．

解答： （Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)E，連結(jié)ME，CE，則有ME與NC平行且相等．
∴四邊形MNCE為平行四邊形，MN∥CE             …（2分）
∵AA₁⊥面ABC，CE?面ABC，
∴AA₁⊥CE，∴MN⊥AA₁．…（4分）
（Ⅱ）解：以AB，AA₁為x軸，z軸，在面ABC內(nèi)以過(guò)A點(diǎn)且垂直于AB的射線為y軸建系如圖，B（1，0，0），N（

1

2

，

3

2

，1），B₁（1，0，2），M（λ，0，2λ），

MN

=（

1

2

-λ，

3

2

，1-2λ），

AB

=（1，0，0），

AN

=（

1

2

，

3

2

，1）
…（6分）
設(shè)

n1

=（x，y，z）是平面ABN的一個(gè)法向量，則

n1 • AB =0 n1 • AN =0

∴

x=0 1 2 x+ 3 2 y+z=0

∴

x=0 z=- 3 2 y

，令y=1，∴

n1

=（0，1，-

3

2

）…（8分）
設(shè)MN與面ABN所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

MN

，

n1

＞|=

3 2 + 3 2 (2λ-1)

( 1 2 -λ)2+ 3 4 +(1-2λ)2 1+ 3 4

=

3 14

…（10分）

λ

5λ2-5λ+2 - 7 2

=

1

14

，化簡(jiǎn)得3λ²+5λ-2=0，λ=-2或λ=

1

3

，
由題意知λ＞0，∴λ=

1

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的性質(zhì)，考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．