Question

請你設計一個LED霓虹燈燈箱．現有一批LED霓虹燈燈箱材料如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形LED散片，邊CD上有一以其中點M為圓心，半徑為2cm的半圓形缺損，因此切去陰影部分（含半圓形缺損）所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于空間一點P，正好形成一個正四棱柱形狀有蓋的LED
霓虹燈燈箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm．
（1）用規格長×寬×高=145cm×145cm×75cm外包裝盒來裝你所設計的LED霓虹燈燈箱，燈箱彼此間隔空隙至多0.5cm，請問包裝盒至少能裝多少只LED霓虹燈燈箱（每只燈箱容積V最大時所裝燈箱只數最少）？
（2）若材料成本2元/cm²，霓虹燈燈箱銷售時以霓虹燈燈箱側面積S（cm²）為準，售價為2.4元/cm²．試問每售出一個霓虹燈燈箱可獲最大利潤是多少？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用,基本不等式在最值問題中的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據體積公式，先計算出每只燈箱容積V，再求導，求出最值，問題得以解決．
（2）根據表面積公式，計算出霓虹燈燈箱側面積S，利用配方法求出最值，繼而求出利潤．

解答： 解：（1）V=(

2

x)2×

2

2

×（60-2x）=2

2

x²（30-x），（0＜x＜30-2

2

），
∴V′=6

2

x（20-x），當0＜x＜20時，V單調遞增，當20＜x＜30-2

2

），V單調遞減，
∴當x=2時，V最大．
此時正四棱柱形燈箱底面邊長20

2

≈28.3（cm），高為10

2

≈14.1（cm），
用規格為145cm×145cm×75cm外包裝盒來裝燈箱，彼此間隔空隙至多0.5cm，至少裝下5×5×5=125個燈箱．
答：至少裝下125個燈箱．
（2）S=60²-4x²-（60-2x）²=240x-8x²=-8（x-15）²+1800（0＜x＜30-2

2

），
所以x=15cm時側面積最大，最大值是1800（cm²）此時獲利最大
最大利潤為（2.4-2）×1800=720
答：每個燈箱最大利潤720元．

點評：本題主要考查了函數模型的構建問題，并用導數求最值的問題，屬于中檔題．