Question

【題目】已知橢圓的長軸長為，右頂點到左焦點的距離為，、分別為橢圓的左、右兩個焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知橢圓的切線（與橢圓有唯一交點）的方程為，切線與直線和直線分別交于點、，求證：為定值，并求此定值；

（3）設矩形的四條邊所在直線都和橢圓相切（即每條邊所在直線與橢圓有唯一交點），求矩形的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）

【解析】

（1）由長軸長可得,由右頂點到左焦點的距離為,進而求解即可；

（2）聯立可得,由相切可得,則,分別求得,,將代入,進而求解即可；

（3）分別討論與的情況,當時,設直線為,則,聯立直線與橢圓方程,令可得,即可代回求得直線的方程,進而求得直線與直線的距離,同理求得直線與直線的距離,從而利用均值不等式求解.

（1）由題,因為,,

所以,,則,

所以橢圓的標準方程為.

（2）證明:由（1）,

聯立可得,

所以,即,

對于切線:,

當時,；當時,,

所以,

,

所以,為定值.

（3）由題,當時,；

當時,設邊所在直線為切線:,

所以,

聯立可得,

則,即,

所以直線的方程為；直線的方程為,

所以直線和直線的距離為,

同理,直線和直線的距離為,

所以,

因為,當且僅當,即時等號成立,

所以,

綜上,