Question

【題目】已知橢圓的標準方程是，設是橢圓的左焦點，為直線上任意一點，過做的垂線交橢圓于點，.

（1）證明：線段平分線段（其中為坐標原點）；

（2）當最小時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或.

【解析】

（1）由橢圓的標準方程可得的坐標，設點坐標為，可得直線的斜率，討論與兩種情況，設直線的方程是，，；聯立直線與橢圓方程，即可用表示點的坐標，即可證明結論.

（2）由（1）結合弦長公式，表示出，即可得，結合基本不等式即可求得最小值及最小值時的值，進而得點的坐標.

（1）證明：橢圓的標準方程是，

設是橢圓的左焦點，為直線上任意一點，

所以得坐標為，設點坐標為，

則直線的斜率，

當時，直線的斜率，

直線的方程是，

當時，直線的方程，

也符合方程的形式，

設，，將直線的方程與橢圓的方程聯立得：

消去得，

有，

設的中點的坐標為，

， ，

所以直線的斜率，又因為直線的斜率，

所以點在直線上，因此線段平分線段.

（2）由（1）知，，

所以，

當且僅當，

即時等號成立，此時取得最小值，

點的坐標為或