Question

【題目】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足(n)，其中常數(shù)k為正整數(shù)．

（1）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)的積，當(dāng)k＝2時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若是首項(xiàng)為1，公差d為整數(shù)的等差數(shù)列，且＝4，求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和；

（3）若是等比數(shù)列，且對(duì)任意的n，，其中k≥2，試問(wèn)：是等比數(shù)列嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）數(shù)列是等比數(shù)列．證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）通過(guò)分析得到d＝1，得到，再求出k＝1，即得，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和；

（3）設(shè)公比為q2，則對(duì)任意n，，由已知得到，證明得到，即得數(shù)列是等比數(shù)列．

解：（1）因?yàn)?/span>，所以，

兩式相除，可得，

當(dāng)n＝1時(shí)，，符合上式，所以，

當(dāng)k＝2時(shí)，；

（2）因?yàn)?/span>，且，

所以，，

所以，

因?yàn)?/span>是各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，是首項(xiàng)為1，公差d為整數(shù)的等差數(shù)列，

所以d，k均為正整數(shù)，所以，所以，

所以，解得d≤1，所以d＝1，即.

所以，即，解得k＝1，

所以，則，

記的前n項(xiàng)和為，

則，

所以；

（3）因?yàn)?/span>成等比數(shù)列，設(shè)公比為q2，則對(duì)任意n，，

因?yàn)?/span>，且，所以，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以數(shù)列是等比數(shù)列．