Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間和極值；

（2）當時，若不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若存在，且當時，，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當時，單調遞增區間為，無極值；當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；極小值為，無極大值；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

（1）求出，分類討論的取值，根據導數符號可得單調區間和極值；

（2）令，求解導數，分別討論時和時兩種情況，結合函數最值，可得實數的取值范圍；

（3）先令，根據導數判斷單調性，把條件轉化為，然后構造函數，證明，進而可證.

（1），定義域，，

（i）當時，，在單調遞增，無極值；

（ii）當時，令，解得，∴的單調遞增區間為；

令，解得，∴的單調遞減區間為．

此時有極小值，無極大值．

（2）令，，

則．

（i）時，，在上單調遞減，

∴，

∴恒成立，滿足題意．

（ii）時，令，，

∴在上單調遞減，

∴，

其中，且在上單調遞減，

∴根據零點存在性定理，使得，

即，；，

∴，，在上單調遞增，

又∵，

∴，，不滿足題意，舍掉；

綜上可得．

（3）不妨設，則.

∵，∴，

令，，∴在上單增，

∴，從而；

∴，

即；

下面證明，令，則，

即證明，只要證明，

設，∴在上恒成立，

∴在單調遞減，故．

∴，即．