Question

【題目】已知函數(shù)，(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

（1）將代入解析式，并求得，令并求得；由的符號(hào)可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求得，即可由符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）根據(jù)不等式及函數(shù)的解析式，代入后化簡(jiǎn)變形，并令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，分離常數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，求得后，再構(gòu)造函數(shù)，求得；由的符號(hào)可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可知存在使得，從而判斷出的單調(diào)性與極值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)解析式求得，即可由恒成立問題求得的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

則，

令，

則，令，解得，

所以當(dāng)時(shí)，，在時(shí)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在時(shí)單調(diào)遞增，

即，

所以，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

代入可得，

因?yàn)?/span>，化簡(jiǎn)可得，即，

令，所以

則不等式可化為，

變形可得，

令，

則，

令，則，

令，解得，

當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，

而，

，，

所以存在使得，

從而當(dāng)時(shí)，則在時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞減.

則在或處取得最大值，

而，，

因?yàn)?/span>，即

則，

綜上可知，的取值范圍為.