Question

已知函數f（x）=x+

16

x

+17．
（Ⅰ）求函數f（x）的值域．
（Ⅱ）解不等式f（x）≤0．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,函數的值域,基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）分x＞0和x＜0兩種情況，分別利用基本不等式求得x+

16

x

的范圍，可得函數f（x）的值域．
（Ⅱ）用穿根法求得不等式f（x）≤0的解集．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），
當x＞0時，x+

16

x

≥2

x• 16 x

=8，等號在x=

16

x

，即x=4成立．
因函數h(x)=x+

16

x

是奇函數，所以當x＜0時，x+

16

x

≤-8，
所以，函數f（x）的值域是（-∞，9]∪[25，+∞）．
（Ⅱ）∵f(x)=x+

16

x

+17，f（x）≤0，∴x+

16

x

+17≤0，
即

(x+1)(x+16)

x

≤0，用穿根法求得不等式的解集為 x≤-16或-1≤x＜0，
所以，不等式f（x）≤0的解集是（-∞，-16]∪[-1，0）．

點評：本題主要考查利用基本不等式求函數的值域，用穿根法求分式不等式和高次不等式，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．