Question

設P是60°的二面角α-l-β內一點，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B為垂足，PA=4，PB=2，則AB的長為

 

．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：設平面PAB與二面角的棱l交于點Q，連結AQ、BQ得直線l⊥平面PAQB，由題意知∠AQB是二面角α-l-β的平面角，由此利用余弦定理能求出AB．

解答： 解：設平面PAB與二面角的棱l交于點Q，
連結AQ、BQ得直線l⊥平面PAQB，
∵P是60°的二面角α-l-β內一點，PA⊥平面α，PB⊥平面β，
∴∠AQB是二面角α-l-β的平面角，∴∠AQB=60°，
∴△PAB中，∠APB=180°-60°=120°，PA=4，PB=2，
由余弦定理得：
AB²=PA²+PB²-2PA•PAcos120°
=4²+2²-2×4×2×（-

1

2

）=28，
∴AB=

28

=2

7

．
故答案為：2

7

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定和二面角的概念，是中檔題，解題時要注意利用正、余弦定理解三角形的靈活運用．