Question

設函數f(x)=1+

2

x

，(x＞0)．
（1）數列{a_n}滿足a1=1，an+1=

1

f(an)

，(n∈N+)，求數列{a_n}的通項公式及數列{2ⁿ•a_n•a_n+1}的前n項和；
（2）設函數g(x)=

1

2

(x2+1)•[f(x)-1]，試比較[g（x）]ⁿ+2與g（xⁿ）+2ⁿ（n∈N⁺）的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）首先判斷出數列{

1

an

+1}是以1+

1

a1

為首項公比2的等比數列，進而求出數列{a_n}的通項公式；然后求出數列{2ⁿ•a_n•a_n+1}的通項公式，進而求出它的前n項和；
（2）求出[g（x）]ⁿ+2與g（xⁿ）+2ⁿ的差，判斷出它大于或等于0，比較出[g（x）]ⁿ+2與g（xⁿ）+2ⁿ（n∈N⁺）的大小即可．

解答： 解：（1）由題設可知：an+1=

1

f(an)

=

1

1+ 2 an

=

an

2+an

，
變形可得

1

an+1

=1+

2

an

，∴(

1

an+1

+1)=2(

1

an

+1)，
∴數列{

1

an

+1}是以1+

1

a1

為首項公比2的等比數列，
則

1

an

+1=2n-1(

1

a1

+1)=2n，
∴an=

1

2n-1

，
設bn=2n•an•an+1=2n•

1

2n-1

•

1

2n+1-1

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
設S_n為{b_n}的前n項和，
則Sn=b1+b2+…+bn=

1

21-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

=

2n+1-2

2n+1-1

（2）g(x)=

1

2

(x2+1)•

2

x

=x+

1

x

，
則[g(x)]n+2-(g(xn)+2n)=(x+

1

x

)n+2-[(xn+

1

xn

)+2n]=

C

1 n

xn-1•

1

x

+

C

2 n

xn-2•

1

x2

+…+

C

n-1 n

x•

1

xn-1

+2-2n=

1

2

((

C

1 n

xn-1•

1

x

+

C

n-1 n

x•

1

xn-1

)+(

C

2 n

xn-2•

1

x2

+

C

n-2 n

x2•

1

xn-2

)+…+(

C

1 n

xn-1•

1

x

+

C

n-1 n

x•

1

xn-1

))+2-2n≥

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+2-2n≥2n-2+2-2n=0，
∴[g（x）]ⁿ+2≥[g（xⁿ）]+2ⁿ．

點評：本題主要考查了求數列的通項公式的方法，考查了數列的求和，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題．