Question

以下四個關于圓錐曲線的命題：
①雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點；
②設A、B為兩個定點，k為非零常數，若|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動點P的軌跡為橢圓．
其中真命題的序號為

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①由雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1可得c=

25+9

=

34

，其焦點(±

34

，0)，同理可得橢圓

x2

35

+y²=1焦點為(±

34

，0)；
②當||

PA

|-|

PB

||=k＜|AB|時，則動點P的軌跡為雙曲線，即可判斷出；
③解方程2x²-5x+2=0可得兩根

1

2

，2．利用橢圓與雙曲線的離心率的范圍即可判斷出；
④過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），可得點P為弦BA的中點，由垂經定理可得OP⊥AP，因此動點P的軌跡為圓．

解答： 解：①由雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1可得c=

25+9

=

34

，其焦點(±

34

，0)，同理可得橢圓

x2

35

+y²=1焦點為(±

34

，0)，因此有相同的焦點；
②設A、B為兩個定點，k為非零常數，當||

PA

|-|

PB

||=k＜|AB|時，則動點P的軌跡為雙曲線，因此②不正確；
③解方程2x²-5x+2=0可得兩根

1

2

，2．因此

1

2

可以作為橢圓的離心率，2可以作為雙曲線的離心率，因此方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，正確；
④過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），可得點P為弦BA的中點，由垂經定理可得OP⊥AP，因此動點P的軌跡為圓，故不正確．
綜上可知：其中真命題的序號為 ①③．
故答案為：①③．

點評：本題綜合考查了圓錐曲線的定義、標準方程及其性質，考查了了推理能力，屬于中檔題．