Question

【題目】直線與雙曲線相交于、兩點，為坐標原點，且．

（1）求與滿足的關系；

（2）求證：點到直線的距離是定值，并求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，

【解析】

(1)設點A,B聯立直線方程和雙曲線方程消元化簡:

,然后利用韋達定理結合向量垂直即,可求得和滿足的關系;

(2)利用點到直線的距離公式求出距離表達式再利用(1)的結論即可證明距離是定值;利用弦長公式以及韋達定理表示出弦長表達式,然后利用換元配方求解最小值.

（1）設點A,B,聯立消得,

∴,

由得

代入化簡可得和滿足的關系為:;

（2）由點到直線的距離公式可得:,由(1)得

代入可解得為定值;

由直線與雙曲線交點弦弦長公式可得:

,令(t≤3)

化簡可得,

由t≤3可得當,t=3時.