Question

【題目】分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學．分形的外表結構極為復雜，但其內部卻是有規律可尋的．一個數學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段的長度為a，在線段上取兩個點，，使得，以為一邊在線段的上方做一個正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：

記第個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為，現給出有關數列的四個命題：

①數列是等比數列；

②數列是遞增數列；

③存在最小的正數，使得對任意的正整數 ，都有 ；

④存在最大的正數，使得對任意的正整數，都有．

其中真命題的序號是________________（請寫出所有真命題的序號）.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

通過分析圖1到圖4，猜想歸納出其遞推規律，再判斷該數列的性質，即可求解。

由題意，得圖1中線段為，即；

圖2中正六邊形邊長為，則；

圖3中的最小正六邊形邊長為，則；

圖4中的最小正六邊形邊長為，則；

由此類推，，

所以為遞增數列，但不是等比數列，即①錯誤，②正確；

因為

，

即存在最大的正數，使得對任意的正整數，都有，

即④正確；③錯誤，

綜上可知正確的由②④。