Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線：與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，證明:存在實(shí)數(shù)，使得.

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線為直線：，可求出，進(jìn)而可得拋物線方程；

（2）先設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理，求出直線恒過定點(diǎn)，進(jìn)而可證明結(jié)論成立.

解：（1）因?yàn)閽佄锞�：的準(zhǔn)線為直線：，

所以，解得.

所以拋物線的方程為.

（2）易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，據(jù)此可設(shè)直線的方程為，，.

聯(lián)立整理得，故

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，，所以.

則直線的方程為，

得，

得，

即.

令，得，

得.

所以直線恒過定點(diǎn).

所以點(diǎn)在直線上，所以不妨令.

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

所以.

所以存在實(shí)數(shù)，使得，命題得證.