Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都等于2，D在AC₁上，F為BB₁中點，且FD⊥AC₁．
（1）求證：DF∥平面ABC； 
（2）求二面角F-AC₁-C的余弦值； 
（3）求點C₁到平面AFC的距離．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連AF、FC₁，由已知條件推導出D為AC₁的中點，取AC的中點E，推導出四邊形DEBF是平行四邊形，由此能證明DF∥平面ABC．
（Ⅱ）由已知條件推導出FD⊥平面ACC₁，從而得到二面角F-AC₁-C的大小為90°，由此能求出二面角F-AC₁-C的余弦值．
（Ⅲ）由VF-ACC1=VB-ACC1=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

，VF-ACC1=VC1-ACF=VC1-ACF=

1

3

S_△ACF×h，利用等積法能求出點C₁到平面AFC的距離．

解答： （Ⅰ）證明：連AF、FC₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
且各棱長都等于2，又F為BB₁中點，
∴Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，
∴AF=FC₁．
又在△AFC₁中，FD⊥AC₁，
∴D為AC₁的中點，取AC的中點E，
連接BE及DE，則DE

∥

.

1

2

CC1，
∴DE與FB平行且相等，∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴FD與BE平行．
∵BE?平面ABC，DF不包含于平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴ABC是正三角形，BE⊥AC，
∴FD⊥AC，又∵FD⊥AC，∴FD⊥平面ACC₁，
∴二面角F-AC₁-C的大小為90°．
∴二面角F-AC₁-C的余弦值為0．
（Ⅲ）∵AC=2，AF=CF=

5

，
∴S_△ACF=2，
∴VF-ACC1=VB-ACC1=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

，
VF-ACC1=VC1-ACF=VC1-ACF=

1

3

S_△ACF×h，
解得h=

3

．
∴點C₁到平面AFC的距離為

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意等積法的合理運用．