Question

設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足4S_n=a_n+1²-4n-1，n∈N^*，且a₂，a₅，a₁₄恰為等比數列{b_n}的前三項．
（Ⅰ）證明：數列{a_n}為等差數列；  
（Ⅱ）求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

a

2 n+1

=(an+2)2，由此能夠證明{a_n}為首項是1，公差為2的等差數列．
（Ⅱ）a_n=2n-1，bn=3n，利用錯位相減求和法能求出數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

解答： （Ⅰ）證明：當n≥2時，4Sn-1=

a

2 n

-4(n-1)-1，
∴4an=4Sn-4Sn-1=

a

2 n+1

-

a

2 n

-4，
∴

a

2 n+1

=(an+2)2，∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，…（2分）
∴n≥2時，{a_n}為公差為2的等差數列，
∴a₂，a₅，a₁₄恰為等比數列{b_n}的前三項，
∴a52=a2a14，
即(a2+6)2=a2(a2+24)，解得a₂=3，…（3分）
由條件知4a1=a22-5，則a₁=1，…（4分）
∴a₂-a₁=2=a_n+1-a_n，
∴{a_n}為首項是1，公差為2的等差數列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n=2n-1，bn=3n，…（8分）
∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)3n，
兩邊同乘以3得，3Tn=1×32+3×33+…+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1，…（9分）
兩式相減得-2Tn=1×3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)3n+1
=3+2

32(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)3n+1=-6+(2-2n)3n+1，…（12分）
∴Tn=3+(n-1)3n+1．…（13分）

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減求和法的合理運用．