Question

如圖，已知AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點，D是線段PA的中點，E是線段AC上的一點．
求證：（Ⅰ）若E為線段AC中點，則DE∥平面PBC；
（Ⅱ）無論E在AC何處，都有BC⊥DE．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由三角形中位線定理可得DE∥BC，進而由線面平行的判定定理得到DE∥平面PBC；
（Ⅱ）要證明“無論E在AC何處，都有BC⊥DE”，問題轉化為證明BC⊥平面PAC．

解答： 解：（Ⅰ）∵D、E分別為AB、AC中點，
∴DE∥BC．
∵DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC；
（Ⅱ）∵AB是圓的直徑，C是圓上任一點，
∴BC⊥AC，
又∵PA垂直圓所在的平面，
∴BC⊥PA，
又∵AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵DE?平面PAC，
∴無論E在AC何處，都有BC⊥DE．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面位置關系的判定，性質是解答本題的關鍵，