Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分別是AB，PB的中點．PC=1，BC=1．
（1）求證：DE∥平面PAC；
（2）求證：AB⊥PB；
（3）求點C到平面ABP的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）由D，E分別是AB，PB的中點，結合三角形中位線定理和線面平行的判定定理可得DE∥平面PAC；
（2）由線面垂直的性質，可得PC⊥AB，結合AB⊥BC和線面垂直的判定定理可得AB⊥平面PBC，再由線面垂直的性質可得AB⊥PB；
（3）點C到平面PAB的距離為h，由等體積法得：V_C-PAB=V_P-ABC，即可求點C到平面ABP的距離．

解答： （1）證明：∵D，E分別是AB，PB的中點，∴DE∥AP． …（2分）
∵AP?平面PAC，且DE?平面PAC，
∴DE∥平面PAC                            …（5分）
（2）證明：∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PC⊥AB        …（7分）
∵AB⊥BC，且PC∩BC=C，PC、BC?平面PBC，
∴AB⊥平面PBC------------（9分）
∵PB?平面PBC，∴AB⊥PB------------（10分）
（3）解：∵PC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PC⊥BC
在Rt△PBC中，由勾股定理得PB²=PC²+BC²=1²+1²=2，∴PB=

2

…（11分）
由（2）證知△PAB是直角三角形，
設點C到平面PAB的距離為h，由等體積法得：V_C-PAB=V_P-ABC
即

1

3

S△PAB•h=

1

3

S△ABC•PC，∴h=

S△ABC•PC

S△PAB

=

1 2 AB•BC•PC

1 2 AB•PB

=

BC•PC

PB

=

1×1

2

=

2

2

即點C到平面PAB的距離為

2

2

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，考查點到平面的距離，解答的關鍵是熟練掌握空間線面關系的判定定理及性質，屬于中檔題．