Question

【題目】設為正整數，區間（其中，）同時滿足下列兩個條件：

①對任意，存在使得；

②對任意，存在，使得（其中）．

（Ⅰ）判斷能否等于或；（結論不需要證明）．

（Ⅱ）求的最小值；

（Ⅲ）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不在在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）可以等于，但不能等于；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在最大值，為．

【解析】

（Ⅰ）根據題意可得出結論；

（Ⅱ）根據（Ⅰ）中的結論得出可以等于，可得出區間的長度為，結合①得出，再由，，，滿足條件①、②可得出的最小值；

（Ⅲ）利用反證法推導出，進而得出，由此得出，進而得出，再舉例說明成立，由此可得出正整數的最大值.

（Ⅰ）可以等于，但不能等于；

（Ⅱ）記為區間的長度，則區間的長度為，的長度為．

由①，得．

又因為，，，顯然滿足條件①，②．

所以的最小值為；

（Ⅲ）的最大值存在，且為．

解答如下：（1）首先，證明．

由②，得、、、互不相同，且對于任意，．

不妨設．

如果，那么對于條件②，當時，不存在，使得．

這與題意不符，故.

如果，那么，

這與條件②中“存在，使得（其中、、、、、、）”矛盾，故．

所以，，，，則．

故．

若存在，這與條件②中“存在，使得”矛盾，

所以．

（2）給出存在的例子 ．

令，其中、、、，即、、、為等差數列，公差．

由，知，則易得，

所以、、、滿足條件①．

又公差，

所以，．（注：

為區間的中點對應的數）

所以、、、滿足條件②．

綜合（1）（2）可知的最大值存在，且為．