Question

【題目】已知函數.

（1）若在上存在極大值，求的取值范圍；

（2）若軸是曲線的一條切線，證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求得的導函數，對分成三種情況，結合在上存在極大值，求得的取值范圍.

（2）首先根據軸是曲線的一條切線求得的值，構造函數，利用導數求得在區間上的最小值為，由此證得，從而證得不等式成立.

（1）解：，令，得，.

當時，，單調遞增，無極值，不合題意；

當時，在處取得極小值，在處取得極大值，

則，又，所以；

當時，在處取得極大值，在處取得極小值，

則，又，所以.

綜上，的取值范圍為.

（2）證明：由題意得，或，即（不成立），或，

解得.

設函數，，

當或時，；當時，.

所以在處取得極小值，且極小值為.

又，所以當時，，

故當時，.