Question

【題目】已知函數，.

（1）若，求的零點個數；

（2）證明：，.

Answer 1

【答案】（1）零點個數為0（2）證明見解析

【解析】

（1），討論和兩種情況，計算函數的單調性得到恒成立，故函數沒有零點.

（2）只需要證明即可，討論，兩種情況，求導得到函數單調性，根據單調性計算函數最值，得到證明.

（1）因為，，

①當時，，，，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；所以當時，取得最小值，

所以.

②當時，，，，單調遞增；所以.

綜上，，因此，沒有零點，即的零點個數為0.

（2）要證，，

只要證，即可.

因為當時，.

①當時，

因為當，，，單調遞增，

當，，，單調遞增，

又，所以在上單調遞增，

所以，，

所以.

②當時，，，在單調遞增，

所以，，

所以.

又因為，所以.

因此，時，.