Question

【題目】對于定義在上的函數，如果存在兩條平行直線與，使得對于任意，都有恒成立，那么稱函數是帶狀函數，若，之間的最小距離存在，則稱為帶寬.

（1）判斷函數是不是帶狀函數？如果是，指出帶寬（不用證明）；如果不是，說明理由；

（2）求證：函數（）是帶狀函數；

（3）求證：函數（）為帶狀函數的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）是，帶寬；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先理解帶狀函數的特征，再求函數的值域即可得解；

（2）由函數，（）的圖像表示雙曲線 在第一象限的部分，

再結合雙曲線的漸近線即可找出兩平行直線；

（3）由分段函數的圖像特征，結合帶狀函數的定義，分別證明充分性及必要性即可.

解：（1）因為，所以，

取直線 ，則恒成立，

即函數是帶狀函數，帶寬為；

（2）因為，（）表示雙曲線 在第一象限的部分，又雙曲線的漸近線方程為，故函數滿足，則函數為有一個寬帶為的帶狀函數；

（3）函數 ，

先證充分性，當時，，

不妨設 ，則，即存在直線，，滿足題意，即函數為帶狀函數，

再證必要性，當函數（）為帶狀函數，

則存在，又，當，則直線與兩直線，中至少一條相交，故不滿足，即不滿足題意，即，

故函數（）為帶狀函數的充要條件是.