Question

【題目】定義：若函數對任意的，都有成立，則稱為上的“淡泊”函數.

（1）判斷是否為上的“淡泊”函數，說明理由；

（2）是否存在實數，使為上的“淡泊”函數，若存在，求出的取值范圍；不存在，說明理由；

（3）設是上的“淡泊”函數（其中不是常值函數），且，若對任意的，都有成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）是,理由詳見解析；（2）存在，；（3）最小值為.

【解析】

（1）任取x1，x2∈[﹣1，1]，可得|f（x1）﹣f（x2）|的不等式，結合題意可判函數為“淡泊”函數；

（2）假設存在k∈R，使得在[﹣1，+∞）上為“淡泊”函數，則滿足對任意x1，x2∈[﹣1，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，代入已知可得k的不等式，解不等式可得；

（3）不妨令0＜x1≤x2＜1，運用絕對值不等式的性質以及新定義，即可得到結論．

（1）任取x1，x2∈[﹣1，1]，可得|f（x1）﹣f（x2）|

＝|（）﹣（）|

＝|（x1+x2）（x1﹣x2）（x1﹣x2）|

＝|x1﹣x2||（x1+x2）|

∵x1，x2∈[﹣1，1]，∴（x1+x2）∈[，]，

∴（x1+x2）|∈[0，1]，即|（x1+x2）|≤1，

∴|x1﹣x2||（x1+x2）|≤|x1﹣x2|

∴|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|

∴函數在[﹣1，1]上是“淡泊”函數；

（2）假設存在k∈R，使得在[﹣1，+∞）上為“淡泊”函數，

則滿足對任意x1，x2∈[﹣1，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，

故||＝|k|||≤|x1﹣x2|，

∴|k|≤|（x1+2）（x2+2）|，

∵x1，x2∈[﹣1，+∞），∴（x1+2）（x2+2）＞1，

∴|k|≤1，解得﹣1≤k≤1；

（3）不妨令0＜x1≤x2＜1，由“淡泊”函數性質，有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，

若x2﹣x1，則|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|；

若x2﹣x1，|f（x1）﹣f（x2）|＝|f（x1）﹣f（0）+f（1）﹣f（x2）|

≤|f（x1）﹣f（0）|+|f（1）﹣f（x2）|≤|x1﹣0|+|1﹣x2|＝1﹣x2+x1＝1﹣（x2﹣x1），

綜上，對任意0＜x1≤x2＜1，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，

而對任意的，都成立，則

∴,即的最小值為．