Question

【題目】對于給定的正整數，若數列滿足對任意正整數恒成立，則稱數列是數列，若正數項數列，滿足：對任意正整數恒成立，則稱是數列；

（1）已知正數項數列是數列，且前五項分別為、、、、，求的值；

（2）若為常數，且是數列，求的最小值；

（3）對于下列兩種情形，只要選作一種，滿分分別是 ①分，②分，若選擇了多于一種情形，則按照序號較小的解答記分.

① 證明：數列是等差數列的充要條件為“既是數列，又是數列”；

②證明：正數項數列是等比數列的充要條件為“數列既是數列，又是數列”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）根據定義得出，再由可求出的值；

（2）根據定義得出，化簡得出，然后利用兩角和與差的正弦公式化簡得出，求出的值，由此可得出的最小值；

（3）①利用等差中項的性質可推出充分性成立，由數列是數列和數列的定義推導出，結合等差中項的定義可得知必要性成立；

②利用等比中項的定義可推出充分性成立，由數列是數列和數列的定義推導出，利用等比中項的定義可得知必要性成立.

（1）由于正項數列是數列，則，，解得；

（2）由于數列是數列，對任意的，，

則有，

化簡得，

由兩角和與差的正弦公式可得，

上述等式對任意的的正整數恒成立，所以，，

即，，解得，正數的最小值為；

（3）①充分性：若數列是等差數列，當時，由等差中項的性質可得，，，

上述等式全部相加得，

，則數列是數列.

當時，由等差中項的性質可得，，

上述等式全部相加得，，

則數列是數列.

必要性：若數列是數列，當時，

則，（i）

若數列是數列，則，（ii）

，（iii）

（iii）（ii）（i）得，，化簡得.

因此，當時，數列從第三項開始成等差數列，設公差為.

注意到，

可得，

因為，

可得，

即數列前項也滿足等差數列的通項公式，所以，數列是等差數列.

因此，數列是等差數列的充要條件為“既是數列，又是數列”；

②充分性：若數列是等比數列，當時，由等比中項的性質可得，，，上述等式全部相乘得，

所以，，則等比數列為數列；

若數列是等比數列，當時，由等比中項的性質可得，，，上述等式全部相乘得，所以，，

則等比數列為數列；

必要性：若數列是數列，當時，則，（iv）

若數列是數列，則，（v），（vi）

（iv）（v）（vi）得，，，化簡得.

因此，當時，數列從第三項開始成等比數列，設公比為.

注意到，可得，

因為，，

即數列前項也滿足等比數列的通項公式，所以，數列是等比數列.

因此，正數項數列是等比數列的充要條件為“數列既是數列，又是數列”.