Question

【題目】如圖1，一藝術拱門由兩部分組成，下部為矩形的長分別為米和米，上部是圓心為的劣弧，

（1）求圖1中拱門最高點到地面的距離：

（2）現欲以點為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示，設與地面水平線所成的角為.若拱門上的點到地面的最大距離恰好為到地面的距離，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據及,可求得圓的半徑,根據最高點與圓心的關系即可求得到地面的距離.

（2）通過討論P點所在的位置以及三角函數的性質可判斷出h取最大值時θ取值范圍．

（1）過O點作交于,交于,交于.如下圖所示:

則即為所求.

因為,

所以

則

所以

即拱門最高點到地面的距離為5米

（2）在拱門放倒過程中，過點O作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點P．

當點P在劣弧CD上時，拱門上的點到地面的最大距離h等于圓O的半徑長與圓心O到地面距離之和；

當點P在線段AD上時，拱門上的點到地面的最大距離h等于點D到地面的距離．

由（1）知，在Rt△OO1B中，OB2．

以B為坐標原點，直線l為x軸，建立如圖所示的坐標系．

①當點P在劣弧CD上時，．

由∠OBx＝θ，OB＝2 ，

由三角函數定義，得O（2cos（），2），

則h＝2+2，所以當θ即θ時，h取得最大值2+2，

②當點P在線段AD上時，0≤θ．

設∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，DB2，sinφ，cosφ．

由∠DBx＝θ+φ，得D（2（θ+φ），2（θ+φ））．

所以h＝2（θ+φ）＝4sinθ+2cosθ，

又當0＜θ時，h′＝4cosθ﹣2sinθ＞4cos2sin 0，

所以h＝4sinθ+2在[0，]上遞增．

所以當θ時，h取得最大值5．

因為2+25，所以h的最大值為2+2．

綜上，若拱門上的點到地面的最大距離恰好為D到地面的距離，則θ．