Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-ax+a
（Ⅰ）若函數f（x）恰好有兩個不同的零點，求a的值．
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象與直線y=x-1相切，求a的值及相應的切點坐標．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）若函數f（x）恰好有兩個不同的零點，等價為函數的極值為0，建立方程即可得到結論．．
（Ⅱ）根據導數的幾何意義，求出切線方程，建立方程組，即可求a的值及相應的切點坐標．

解答： 解：（Ⅰ）函數的導數f′（x）=x²-a，
若a≤0，函數f′（x）=x²-a≥0，此時f（x）單調遞增，不滿足條件，
若a＞0，由f′（x）=x²-a=0的x=±

a

，則x=±

a

，是函數f（x）的兩個極值點，
若若函數f（x）恰好有兩個不同的零點，
則f（±

a

）=0，
∵f（0）=a＞0，∴只能有f（

a

）=0，
即

1

3

（

a

）³-a•

a

+a=0，
即

1

3

a

-

a

+1=0，
即

2

3

a

=1，

a

=

3

2

，即a=

9

4

．
（Ⅱ）設切點P（m，n），則f′（m）=m²-a，
則切線方程為y-（

1

3

m³-am+a）=（m²-a）（x-m），
即y=（m²-a）x+a-

2

3

m³，
∵切線方程為y=x-1，
∴m²-a=1，a-

2

3

m³=-1，
即

1

3

m³=0，即m=0，
此時n=m-1=-1，a=-1，
即若函數f（x）的圖象與直線y=x-1相切，
則a=-1，相應的切點坐標P（0，-1）．

點評：本題主要考查函數零點的應用以及切線方程的求解，根據導數的幾何意義是解決本題的關鍵．