Question

三棱錐A-BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD，且AB：AC=3：2．
（1）證明：AB⊥CD；
（2）證明：平面ACD⊥平面BCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由余弦定理易得BC=BD，取CD中點E，連結AE，BE，由等腰三角形三線合一，CD與BE，AE垂直，再用線面垂直的判定和性質定理即可證得
（2）計算BE，AE長度，再由勾股定理得BE與AE垂直，又BE和CD垂直，再由線面垂直、面面垂直的判定定理即可證得．

解答： 證明：（1）設AC=AD=2，AB=3，
∵∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°，
∴BD=BC=

9+4-2×2×3×cos60°

=

7

，
取CD的中點E，連接BE，AE，
∵AC=AD，BC=BD，
∴AE⊥CD，BE⊥CD，
∴CD⊥平面ABE，又AB?平面ABE，
∴AB⊥CD．
（2）∵AC=AD，CE=ED，∠DAC=60
∴AE⊥CD，AC=AD=CD
∴CD=2，CE=ED=

CD

2

=1，AE²=AC²-CE²=4-1=3，
BC²=BD²=7，
∴BE⊥CD
∴BE²=BC²-CE²=7-1=6
∴AE²+BE²=3+6=9=AB²，
∴AE⊥EB
∴AE⊥面BCD
∴平面BCD⊥平面ADC．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空意思維能力的培養．