Question

【題目】“綠水青山就是金山銀山”，為了保護環境，減少空氣污染，某空氣凈化器制造廠，決定投入生產某種惠民型的空氣凈化器．根據以往的生產銷售經驗得到年生產銷售的統計規律如下：①年固定生產成本為2萬元；②每生產該型號空氣凈化器1百臺，成本增加1萬元；③年生產x百臺的銷售收入（萬元）．假定生產的該型號空氣凈化器都能賣出（利潤＝銷售收入﹣生產成本）．

（1）為使該產品的生產不虧本，年產量x應控制在什么范圍內？

（2）該產品生產多少臺時，可使年利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）100臺到550臺之間；（2）年產300臺時，可使利潤最大

【解析】

（1）由題意，成本函數為，從而年利潤函數為，要使不虧本，利用分段函數和二次函數的性質，即可求解．

（2）利用分段函數，求得每支上的最大值，即可得到函數的最大值，得到答案．

（1）由題意得，成本函數為，

從而年利潤函數為．

要使不虧本，只要L（x）≥0，

①當0≤x≤4時，由L（x）≥0得﹣0.5x2+3x﹣2.5≥0, 解得1≤x≤4，

②當x＞4時，由L（x）≥0得5.5﹣x≥0, 解得4＜x≤5.5

綜上1≤x≤5.5

答：若要該廠不虧本，產量x應控制在100臺到550臺之間

（2）當0≤x≤4時，L（x）= -0.5(x﹣3)2+2，

故當x =3時，L（x）max=2（萬元），

當x＞4時，L（x）＜1.5＜2．

綜上，當年產300臺時，可使利潤最大