Question

【題目】已知f（x）是定義在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，且對x∈（0，∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)g（x）=f（x）﹣f′（x）的零點個數(shù)為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1， 又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）﹣lnx為定值，
設(shè)t=f（x）﹣lnx，
則f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
則f（x）=lnx+e，f′（x）= ＞0，
故g（x）=lnx+e﹣ ，則g′（x）= + ＞0，
故g（x）在（0，+∞）遞增，
而g（1）=e﹣1＞0，g（ ）=﹣1＜0，
存在x0∈（ ，1），使得g（x0）=0，
故函數(shù)g（x）有且只有1個零點，
故選：B．
由設(shè)t=f（x）﹣lnx，則f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，從而求出g（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的零點的個數(shù)即可．