Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的單調區間；

（2）若，且關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析.

（2）.

【解析】

（1）確定函數定義域并求出導數，令，得導數的零點，根據導數的兩零點的與定義域的位置關系，分類討論函數的單調區間，即可得出答案;

（2）構造新函數，分兩類情況討論：①當時符合題意；②當時對函數求導，確定其在定義域范圍最小值 ，又將恒成立,化簡為恒成立，根據的單調性，確定最小值；由得，令函數，根據其在區間的單調性確定的范圍；綜合兩種情況即可得出實數的取值范圍.

解：（1），定義域，

，

令，則，，，∵，∴.

①當，即時，在遞減，遞增.

②當，即時，在遞增，遞減，遞增.

綜上，當時，的遞減區間為，遞增區間為，

當時，的遞減區間為，遞增區間為，.

（2）由題意，令定義域，

①當時，符合題意，

②當時，，令.

∵，∴，則該方程有兩不同實根，且一正一負，

即存在，使得，

可知時，，時，，

∴ ，

∴恒成立 ，即，

∵在上單調遞增，∴，

由得，

設，則，故在單調遞減，

∴即為的范圍.

綜上所述，實數的取值范圍是.