Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左頂點A作直線m，與圓O相交于兩點R，S，若△ORS是鈍角三角形，求直線m的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得e= = ，

又圓O的方程為x2+y2=b2，

因為直線l：x﹣y+2=0與圓O相切，

b= ，由a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．

所以橢圓C的方程為

（2）

解：由（1）得知圓的方程為x2+y2=2．A（﹣ ，0），直線m 的方程為：y=k（x+ ）．

設R（x1，y1），S（x2，y2），由

得

，

由△=12k4﹣4（1+k2）（3k2﹣2）＞0的﹣ ＜k＜ …①

因為△ORS是鈍角三角形，∴ = = ．

…②

由A、R、S三點不共線，知k≠0． ③

由①、②、③，得直線m的斜率k的取值范圍是（﹣ ，0）∪（0， ）

【解析】（1）求得圓O的方程，運用直線和相切的條件：d=r，求得b，再由離心率公式和a，b，c的關系，可得a，進而得到橢圓方程；（2）先設出點R，S的坐標，利用△ORS是鈍角三角形，求得 =x1x2+y1y2＜0，從而求出斜率k的取值范圍